ισοδυναμία ή ισότητα

Όρος της Λογικής, σύμφωνα με τον οποίο αν Α και Β αποτελούν δύο λογικές προτάσεις και συμβαίνει από την Α να συνάγεται η Β και από τη Β να συνάγεται η Α, τότε θεωρείται ότι η πρόταση Α είναι ισοδύναμη με τη Β και γράφεται συμβολικά: Α ⇔ Β. Δηλαδή η πρόταση Α είναι αληθής, αν και μόνο αν η Β είναι αληθής. Έτσι, αν Α είναι η πρόταση «το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο» και Β είναι η πρόταση «το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισογώνιο», τότε ισχύει Α ⇔ Β: «το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν είναι ισογώνιο». Η πρόταση αυτή ονομάζεται λογική ι. Για τη σχέση της ι. ισχύουν οι εξής τρεις ιδιότητες: 1. Α ⇔ Α (η πρόταση Α είναι ισοδύναμη με τον εαυτό της), για κάθε πρόταση Α (ανακλαστική ιδιότητα). 2. Αν Α ⇔ Β, τότε ισχύει και Β ⇔ Α (συμμετρική ιδιότητα). 3. Αν Α ⇔ Β και Β ⇔ Γ, τότε ισχύει και Α ⇔ Γ (μεταβατική ιδιότητα). Γι’ αυτό λέμε ότι η ι. είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική. Αυτές τις τρεις ιδιότητες έχει και η κοινή ισότητα (η ταυτότητα). Στη στοιχειώδη γεωμετρία, για παράδειγμα, και προκειμένου για το σύνολο των ευθύγραμμων τμημάτων αναφέρεται ότι: ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ίσο με ένα ευθύγραμμο τμήμα Α’Β’ (και γράφεται συμβολικά ΑΒ = Α’Β’) αν και μόνο αν μπορεί να τοποθετηθεί το ένα πάνω στο άλλο με τέτοιον τρόπο ώστε να εφαρμόσουν τα άκρα τους (το Α με το Α’ και το Β με το Β’ είτε το Α με το Β’ και το Β με το Α’). Αυτή η σχέση έχει τις τρεις προηγούμενες ιδιότητες, δηλαδή: 1) ΑΒ = ΑΒ (ανακλαστική)· 2) αν ΑΒ = Α’Β’ τότε Α’Β’ = ΑΒ (συμμετρική) και 3) αν ΑΒ = Α’Β’ και Α’Β’ = Α”Β”, τότε ΑΒ = Α”Β” (μεταβατική). Επίσης, στη στοιχειώδη γεωμετρία και προκειμένου για το σύνολο των επίπεδων τριγώνων θεωρείται ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με ένα τρίγωνο Α’Β’Γ’ (και γράφεται συμβολικά ΑΒΓ = Α’Β’Γ’) αν και μόνο αν μπορεί να τοποθετηθεί το ένα επάνω στο άλλο με τέτοιο τρόπο ώστε να εφαρμόσουν. Προκειμένου και γι’ αυτή την ισότητα (ταυτότητα) ισχύουν οι τρεις προηγούμενες ιδιότητες. Γενικότερα, έστω Ε ένα οποιοδήποτε σύνολο (διάφορο από το κενό), για παράδειγμα το σύνολο των επίπεδων σχημάτων στη στοιχειώδη γεωμετρία, το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το σύνολο των ευθειών του επιπέδου, το σύνολο των κλασμάτων κλπ. Έστω ακόμα ότι μέσα στο Ε έχει οριστεί μία διμελής σχέση, έστω η σ, με τις τρεις προηγούμενες ιδιότητες. Δηλαδή υπάρχει μία σχέση τέτοια ώστε να ισχύουν: 1) α σ α, για κάθε στοιχείο α του Ε· 2) αν α σ β, τότε και β σ α και 3) αν α σ β και β σ γ, τότε και α σ γ. Στην περίπτωση αυτή λέγεται ότι η σχέση σ είναι μία σχέση ι. μέσα στο σύνολο Ε. Έτσι, η κοινή ισότητα (ταυτότητα) μέσα στο σύνολο των ευθυγράμμων τμημάτων του χώρου (στη στοιχειώδη γεωμετρία), η κοινή ισότητα μέσα στο σύνολο των τριγώνων του χώρου κλπ. είναι σχέσεις ι. Υπάρχουν και περιπτώσεις σχέσεων ι. που δεν είναι κοινές ισότητες, όπως οι παρακάτω: α) Στην προβολική γεωμετρία, η σχέση της προβολικότητας είναι μία σχέση ι. που δεν είναι κοινή ισότητα (για παράδειγμα, κάθε σημειοσειρά είναι προβολική με τον εαυτό της· αν η σημειοσειρά Σ είναι προβολική με τη ΣΕ, τότε και η ΣΕ είναι προβολική με τη Σ και αν η Σ είναι προβολική με τη ΣΕ και η ΣΕ με τη Σ”, τότε και η Σ είναι προβολική με τη Σ”), β) Στη στοιχειώδη γεωμετρία, η παραλληλία των ευθειών είναι μία σχέση ι. μέσα στο σύνολο των ευθειών του χώρου (θεωρείται εδώ ότι μία ειδική περίπτωση παραλληλίας μίας ευθείας ε ₁ με μία ευθεία ε ₂ είναι και η σύμπτωση της ε ₁ με την ε ₂). Πραγματικά, αν η σχέση της παραλληλίας συμβολιστεί με το σύμβολο ||, τότε ισχύουν: 1) ε || ε για κάθε ευθεία ε· 2) αν ε ₁ || ε ₂, τότε και ε ₂ || ε ₁ και 3) αν ε ₁ || ε ₂ και ε ₂ || ε ₃, τότε και ε ₁ || ε ₃. Στο σύνολο των κλασμάτων, αν οριστεί ότι ένα κλάσμα  (εδώ εννοούνται τα κλάσματα της μορφής  με τους α,β πραγματικούς αριθμούς και με το β, φυσικά, διαφορετικό από το 0) είναι ισοδύναμο με ένα κλάσμα  αν και μόνο αν ισχύει xψ’ = ψx’ και συμβολιστούν ≈  τότε ισχύουν οι τρεις ιδιότητες: 1)  ≈  για κάθε κλάσμα , 2) αν ≈  τότε και ≈  και 3) αν ≈και ≈ τότε και  ≈  δ) Μία σχέση ι. είναι και η εξής: έστω ένα σχολείο Σ. Θεωρείται ως δεδομένο ότι: ένας μαθητής α του σχολείου Σ, κατά το σχολικό έτος 2002-3, είναι ισοδύναμος με έναν μαθητή β του ίδιου σχολείου Σ και κατά το ίδιο σχολικό έτος 2002-3 και συμβολίζεται α ≈ β, αν και μόνο αν ο α είναι στην ίδια τάξη με τον β. Τότε ισχύουν: 1) α ≈ α (ο μαθητής α είναι στην ίδια τάξη με τον εαυτό του) για κάθε μαθητή α του σχολείου Σ κατά το σχολικό έτος 2002-3· 2) αν α ≈ β, τότε και β ≈ α (αν ο α είναι στην ίδια τάξη με τον β, τότε και ο β είναι στην ίδια τάξη με τον α και 3) αν α ≈ β και β ≈ γ, τότε και α ≈ γ (αν ο α είναι στην ίδια τάξη με τον β και ο β στην ίδια τάξη με τον γ, τότε και ο α είναι στην ίδια τάξη με τον γ). Είναι λοιπόν και η σχέση αυτή μία σχέση ι., μολονότι δεν είναι μία ι. με την κοινή έννοια της ταυτότητας. Μπορεί σε ένα σύνολο να οριστούν σχέσεις, που δεν είναι σχέσεις ι., δηλαδή δεν έχουν και τις τρεις προηγούμενες ιδιότητες, όπως δείχνουν τα επόμενα παραδείγματα: α) Στο σύνολο των ευθειών του επιπέδου, η σχέση: «η ευθεία x είναι κάθετος της ευθείας y» δεν είναι μία σχέση ι. Ισχύει εδώ ότι αν x ⊥ y, τότε και y ⊥ x (η συμμετρική ιδιότητα· το ⊥ σημαίνει κάθετος), αλλά δεν ισχύει ούτε x ⊥ x (καμία ευθεία δεν συμβαίνει να είναι κάθετη στον εαυτό της) ούτε: αν x ⊥ y και y ⊥ z, τότε x ⊥ z (αντίθετα, τότε είναι x || z). Ώστε η σχέση της καθετότητας στο σύνολο των ευθειών του επιπέδου δεν είναι σχέση ι. β) Η σχέση «ο α διαιρεί τον β», συμβολικά α δ β, στο σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ανακλαστική και μεταβατική, αλλά δεν είναι συμμετρική, δηλαδή: αν α δ β, δεν έπεται αναγκαστικά ότι ισχύει και β δ α (π.χ. ο 6 διαιρεί το 12, ο 12 όμως δεν διαιρεί τον 6). Μία ενδιαφέρουσα σχέση ι. είναι η εξής: έστω Ζ το σύνολο των ακέραιων αριθμών. Στο Ζ ορίζεται μία διμελής σχέση με τον εξής τρόπο: θεωρείται ότι ο ακέραιος α είναι ισοδύναμος κατά μέτρο p (ο p είναι επίσης ένας ακέραιος) με τον ακέραιο β, αν και μόνο αν ισχύει: α-β = πολλαπλάσιο του p. Αυτό συμβολίζεται: α ≡ β (mod p) και διαβάζεται: ο α είναι ίσος με τον β κατά μέτρο p (αυτό, με άλλα λόγια, σημαίνει ότι ο α είναι ισοϋπόλοιπος του β ως προς τον p). Η παραπάνω σχέση είναι μία σχέση ι. μέσα στο σύνολο Ζ, επειδή γι’ αυτήν ισχύουν οι τρεις ιδιότητες 1) α ≡ α (mod p), 2) αν α ≡ β (mod p), τότε και β ≡ α (mod p) και 3) αν α ≡ β (mod p) και β ≡ γ (mod p), τότε και α ≡ γ (mod p). Έστω ένα σύνολο Ε (οποιοδήποτε, διάφορο από το κενό) και μία σχέση ι. σ μέσα στο Ε. Με βάση τη σχέση σ το Ε μπορεί να διαμεριστεί σε υποσύνολα, διάφορα από το κενό, ξένα ανά δύο μεταξύ τους (δηλαδή χωρίς κοινά στοιχεία) και τέτοια ώστε η ένωσή τους να είναι το Ε. Αυτό γίνεται ως εξής: αν x είναι ένα στοιχείο του Ε, τότε ορίζεται ένα υποσύνολο του Ε που περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία του Ε που είναι ισοδύναμα με το x, δηλαδή όλα τα στοιχεία y του Ε για τα οποία ισχύει x σ y. Αν αυτό γίνει με κάθε στοιχείο του Ε, τότε επιτυγχάνεται ο διαμερισμός που αναφέρθηκε. Κάθε ένα από τα υποσύνολα του διαμερισμού ονομάζεται κλάση ι. του Ε (ως προς την ι. σ) και το σύνολο αυτών των κλάσεων ι. ονομάζεται σύνολο-πηλίκο του Ε ως προς τη σχέση ι. σ και συμβολίζεται Ε/σ. Είναι προφανές ότι κάθε κλάση ι. του Ε (ως προς τη σ) αποτελείται από στοιχεία του Ε ισοδύναμα μεταξύ τους. Έτσι, στο παράδειγμα της σχέσης ι. στο σύνολο Ζ των ακεραίων, που αναφέρθηκε, ορίζονται οι εξής κλάσεις ι.: η κλάση των ίσων προς τον 0, κατά μέτρο p, ακεραίων, η κλάση των ίσων προς το 1, κατά μέτρο p, ακεραίων κλπ. έως και της κλάσης των ίσων προς τον p - 1, κατά μέτρο p, ακεραίων, δηλαδή p κλάσεις. Στην ειδική περίπτωση που είναι p = 2 ορίζονται δύο κλάσεις, η κλάση των αρτίων (των ίσων με τον 0 κατά μέτρο 2) και η κλάση των περιττών (των ίσων με τον 1 κατά μέτρο 2). Αξίζει να σημειωθεί ότι, αντίστροφα, αν ένα σύνολο Ε διαμεριστεί σε ξένα μεταξύ τους και ανά δύο υποσύνολά του (διαφορετικά από το κενό) με το Ε ως ένωσή τους, τότε ορίζεται μία σχέση ι. μέσα στο Ε, κατά την οποία ένα στοιχείο x του Ε είναι ισοδύναμο με ένα στοιχείο του y, αν και μόνο αν τα x και y ανήκουν στο ίδιο υποσύνολο του διαμερισμού του Ε. Αρχή της ι. Θεωρία, σύμφωνα με την οποία οι βαρυτικές και οι αδρανειακές δυνάμεις είναι ισοδύναμες σε μία αρκετά μικρή περιοχή του χώρου και του χρόνου, όπου το πεδίο βαρύτητας μπορεί να θεωρηθεί ομοιογενές και σταθερό στον χρόνο. Η αρχή αυτή προτάθηκε από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1907 ως γενίκευση του γεγονότος ότι η βαρυτική και η αδρανειακή μάζα είναι απευθείας ανάλογες. Σε κάθε βαρυτικό πεδίο μπορεί να καθοριστεί μία αρκετά μικρή περιοχή τέτοια, ώστε οι φυσικοί νόμοι να παίρνουν την ίδια μορφή όπως σε ένα επιταχυνόμενο σύστημα όπου απουσιάζει το πεδίο βαρύτητας. Η αρχή της ι. λέγεται ασθενής αρχή ι., όταν εφαρμόζεται μόνο στους νόμους κίνησης των σωμάτων στον χώρο. Σύμφωνα με τη γενική θεωρία της σχετικότητας, όχι μόνο η μηχανική κίνηση αλλά και όλες οι φυσικές διεργασίες κάτω από ίδιες αρχικές συνθήκες πραγματοποιούνται τελείως ίδια στο πεδίο βαρύτητας και έξω από αυτό, αλλά σε επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς. Αυτή η υπόθεση του Αϊνστάιν ονομάζεται ισχυρή αρχή ι. Στη γεωμετρία, στο σύνολο των κυρτών σχημάτων του επιπέδου, η σχέση «έχει το ίδιο εμβαδόν με το» είναι σχέση ισοδυναμίας (το πολύγωνο ΑΒΓΔ και το τρίγωνο Β’ ΓΔ’ έχουν το ίδιο εμβαδόν).